统计学相关：集中趋势与离散程度

1. 数据的集中趋势

先给一个公式。

$$ \overline{x}=\dfrac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) $$

小学就知道的，对吧。

其中 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 表示n个数据，则$\overline{x}$表示其平均数，即上方的公式。

而对于一组数据，我们常用平均数，作为这组数据的代表，反应它的平均状况。也就是用平均数来作为刻画它的集中趋势的一种方法。

但是我们知道，平均数易受极值影响，也不能反应个体性质。所以，我们又引入了两个概念：中位数与众数。

中位数，即

一般地，当将一组数据按照大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（此时 $n$为奇数）或正中间两个数据的平均数（此时 $n$为偶数）叫做这组数据的中位数。

众数，即

一组数据中出现次数最多的数据。

这两个统计学量只与所有数据中的一部分数据相关，所以不易受极值影响，但无法充分利用所有数据。

一般地，我们根据实际情况来运用三个量表示一组数据的特征，三个量没有谁好谁坏（但众数由于其定义，其不是一定的，可能没有，也可能大于1个。）

通常，数据中存在重要与不太重要的数据，这时，我们引入一个量，权。

下面给出公式。

$$ \overline{x}=\dfrac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{f_1+f_2+\cdots+f_k}, $$

$\text{where}$

$$ f_1+f_2+\cdots+f_k=n,k \leq n $$

其中的$f_1,f_2,\cdots,f_k$分别表示$x_1,x_2,\cdots,x_k$的权，权可以是各个数据出现的次数，或各个数据在总结果中的比重。此时$\overline{x}$为这组数据的加权平均数。

2. 数据的离散程度

比较两组数据时，我们可能会发现，两组数据的平均数相同，但是有一些波动性大，有一些小。这时，我们比较它们的离散程度。

一般地，运用方差来刻画一组数据的离散程度。

设一组数据为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，它们的平均数为$\overline{x}$，则其方差为

$$ s^2=\dfrac{1}{n} \left(\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+\cdots+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right)$$

有必要注意的是，统计学中带一个平方的量不一定是正的，当然此处显然是正的。

一组数据的方差越大，那么这组数据的离散程度也就越大。

一般地，两组数据平均数相同时，方差越大，这组数据对平均数的离散程度越大。

也就是说，平均数相差较大或单位不同的数据不能直接用方差比较。

为比较A、B两个新品种水稻的产品质量，收割后各抽取了五块具有相同条件的实验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：t）：

（1）哪个品种的平均产量更高？

（2）哪个品种的产量更稳定？

Lake桑

2018.6.15