数学相关:从解析延拓到无穷级数

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假定函数f1(z)与f2(z)分别在区域D1与D2解析,D1与D2有一公共部分,在其上f1(z)=f2(z)成立。于是将f1(z)与f2(z)在D1及D2内的全体点上的数值集合看成一个解析函数f(z),则f(z)在D=D1+D2中解析,在D1中f(z)=f2(z),而在D2中f(z)=f2(z)。

函数f2(z)可以看成由拓展f1(z)的定义区域所得,故称它为f1(z)的解析延拓。当然,根据同样理由,f1(z)是f2(z)的解析延拓,这种拓展原给函数定义的方法称为解析延拓

摘自百度百科

可以说人话了吗。

解析延拓,十分不严谨的说,就是把一个函数的定义域有理由的扩大。

比如说,一个函数$f(x)=x+1, \text{where}\, x\in [1,5].$让你求$f(0)$。

显然,$f(0)$要不是因为定义域的话,$f(0)=1.$但是我们又有什么理由认为它会这样子延伸到这里呢?理论上说做一条与已知线段相切的什么鬼都行。这个理由就是解析,一种十分光滑的光滑。而解析延拓自然也是有它的理由的。

比如说$6!$,它本来意味着阶乘,也就是$6!=1\times2\times3\times4\times5\times6.$但是$(-1)!$看上去就没啥意义对吧。

数学家找到了阶乘的解析延拓,于是新定义的函数就可以带入-1。解析函数只要知道任意一小段,在这里,阶乘便是知道一堆点(带入每一个正整数,输出另一个正整数,以点的形式出现在平面直角坐标系内),于是很显然解析延拓可行了。Γ函数就是阶乘的解析延拓,其定义为

$$ \Gamma(x)=\displaystyle\int^{+\infty}_0 t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t $$

当然,也可以代入复数,此时定义为

$$ \Gamma(z)=\displaystyle\int^{+\infty}_0 t^{z-1}e^{-t}\,\text{d}t $$

于是,你就会得到$\left(\dfrac{1}{2}\right)!=\sqrt{\pi}$,换句话讲,$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$这种疯狂的结果。

先把它放在一边。接下来我们说说黎曼ζ函数。

设一复数s, 其实数部分大于1, 则

$$\zeta(s)=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{1}{n^s}$$

注意这个无限大,将我们带回到了这篇文章

欧拉证明了$\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}$,也证明了调和级数,也就是$\zeta(1)$呈对数发散。而既然有了一个点,解析延拓就好办了。它的解析延拓如下。

$$ \zeta(s)=\dfrac{1}{\Gamma(s)}\displaystyle\int^{\infty}_0 \dfrac{x^{s-1}}{e^x-1}\,\text{d}x $$

也就是说,我们又回来了。这个函数和阶乘的解析延拓有了关系。

欧拉做出了一些不严谨的举动,(反正他啥都会算),计算得到了$\zeta(-1)=-\dfrac{1}{12}$,$\zeta(-2)=0$,$\zeta(-3)=\dfrac{1}{120}$,带入原定义,也就是全体自然数的和,平方和,立方和。

但务必注意,解析延拓后,这个函数的意义其实相当于改变了,所以全体自然数的和还是不能简单的说成是负十二分之一。当然,量子物理里面出现了全体自然数的和,把负十二分之一带进去总是没错的,总是符合观测结果。


Lake桑

2018.6.17