数学相关:级数

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作为一个中学生,总会有这样的题目:

学校要组织一次乒乓球比赛,参赛的每两个选手都要比赛一场,所有比赛一共有36场,一共有多少学生参加比赛?

这里很明显,是一类“单双循环问题”。 如果设$x$个学生参加比赛,则得方程

$\dfrac {x\left( x-1\right) }{2}=36$

解得 $x_{1}=9,x_{2}=-8$(舍去)

这里方程的左边是不是有点眼熟?是的,就是求和公式,首项加尾项乘项数除以2。而这里,我们可以写成一个和的形式。

$\sum\limits_{n=1}^{9-1} n$

但是,有时你想加到无穷大,也就是上界为∞呢?

$\sum\limits_{n=1}^{\infty } n$

这就很尴尬了,你无法用上文提到的求和公式去计算。这种情况下就是无穷级数。

当然,有些情况下我们是有能力去计算的,例如下面这个级数:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{2^{n}}=1$

我们可以一项项加,发现最终它的结果越来越逼近1。最后它的结果就是1了。

而函数计算器没有无限大这个按键,但是精度不高反而是一件好事。

但是对于文章刚开头的第一个无穷级数,情况就不乐观了。我们发现,它不逼近到任何一个值,它过一会儿就到了很大很大的数值,却不靠近一个值。那么,这个级数就发散了,上面那个可以计算出来的就是收敛的。

(这些定义都十分不严谨,去维基百科看看最好)

物理学家通常这时就不开心了,因为这种东西一旦是个物理量,就完了,所以需要一些方法,让级数强行收敛。有些级数可能并不是会变成无限大,但是它的结果不确定。比如一串数列:

1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,......

它的和就很尴尬,到底是1,还是0?完全取决于你停在哪里。这时通过一些其他方法(例如求柯西和),说不定就有个结果了。

但是开头的级数还是太可怕了,它用很多方法还是收敛不了。这时拉马努金法才能解决问题。(拉马努金这个人基本上就是一个出生时脑子里就存着公式的人)(划掉)这个方法解决了许多求和的问题,比如开头的级数,全体自然数的和,和调和级数,即使它发散的很慢,但其他方法仍然解决不了。

其公式的意义还是去维基百科看吧。比柯西和复杂很多。

$$\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{x}f\left(k \right) =C+\displaystyle\int \limits_{0}^{x}f\left(t \right)\text{d} t+ \dfrac{1}{2} f\left(x \right )+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac {B_{2k}}{\left(2k \right )!}f^{ \left( 2k-1\right)}\left(x \right )$$

这时有些人就反对了,认为那些东西求出来的不严谨。但是可见的是,这些结果代入到物理学计算中,都与观测值相符。但是我们仍需要注意,一个数学家给这个级数加个等号,等于某个值,他的意思绝不是这个级数的值就是这个值,他只是用了一些方法,有很多条件。

务必注意,所有文中提到的概念都不是非常严谨,最好去维基百科看看定义。


Lake桑

2018.4.21