作为一个中学生，总会有这样的题目：
学校要组织一次乒乓球比赛，参赛的每两个选手都要比赛一场，所有比赛一共有36场，一共有多少学生参加比赛？
这里很明显，是一类“单双循环问题”。 如果设$x$个学生参加比赛，则得方程
$\dfrac {x\left( x-1\right) }{2}=36$
解得 $x_{1}=9,x_{2}=-8$（舍去）
这里方程的左边是不是有点眼熟？是的，就是求和公式，首项加尾项乘项数除以2。而这里，我们可以写成一个和的形式。
$\sum\limits_{n=1}^{9-1} n$
但是，有时你想加到无穷大，也就是上界为∞呢？
$\sum\limits_{n=1}^{\infty } n$
这就很尴尬了，你无法用上文提到的求和公式去计算。这种情况下就是无穷级数。
当然，有些情况下我们是有能力去计算的，例如下面这个级数：
$\sum\limits_{n=1}^{\infty } \dfrac {1}{2^{n}}=1$
我们可以一项项加，发现最终它的结果越来越逼近1。最后它的结果就是1了。
而函数计算器没有无限大这个按键，但是精度不高反而是一件好事。
但是对于文章刚开头的第一个无穷级数，情况就不乐观了。我们发现，它不逼近到任何一个值，它过一会儿就到了很大很大的数值，却不靠近一个值。那么，这个级数就发散了，上面那个可以计算出来的就是收敛的。
（这些定义都十分不严谨，去维基百科看看最好）
物理学家通常这时就不开心了，因为这种东西一旦是个物理量，就完了，所以需要一些方法，让级数强行收敛。有些级数可能并不是会变成无限大，但是它的结果不确定。比如一串数列：
1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,......
它的和就很尴尬，到底是1，还是0？完全取决于你停在哪里。这时通过一些其他方法（例如求柯西和），说不定就有个结果了。
但是开头的级数还是太可怕了，它用很多方法还是收敛不了。这时拉马努金法才能解决问题。（拉马努金这个人基本上就是一个出生时脑子里就存着公式的人）（划掉）这个方法解决了许多求和的问题，比如开头的级数，全体自然数的和，和调和级数，即使它发散的很慢，但其他方法仍然解决不了。
其公式的意义还是去维基百科看吧。比柯西和复杂很多。
$$\displaystyle\sum \limits_{k=1}^{x}f\left(k \right) =C+\displaystyle\int \limits_{0}^{x}f\left(t \right)\text{d} t+ \dfrac{1}{2} f\left(x \right )+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac {B_{2k}}{\left(2k \right )!}f^{ \left( 2k-1\right)}\left(x \right )$$
这时有些人就反对了，认为那些东西求出来的不严谨。但是可见的是，这些结果代入到物理学计算中，都与观测值相符。但是我们仍需要注意，一个数学家给这个级数加个等号，等于某个值，他的意思绝不是这个级数的值就是这个值，他只是用了一些方法，有很多条件。
务必注意，所有文中提到的概念都不是非常严谨，最好去维基百科看看定义。
Lake桑
2018.4.21
