数学相关：从解析延拓到无穷级数

假定函数f₁(z)与f₂(z)分别在区域D₁与D₂中解析，D₁与D₂有一公共部分，在其上f₁(z)=f₂(z)成立。于是将f₁₍z)与f₂(z)在D₁及D₂内的全体点上的数值集合看成一个解析函数f(z)，则f(z)在D=D₁+D₂中解析，在D₁中f(z)=f₂(z)，而在D₂中f(z)=f₂(z)。

函数f₂(z)可以看成由拓展f₁(z)的定义区域所得，故称它为f₁(z)的解析延拓。当然，根据同样理由，f₁(z)是f₂(z)的解析延拓，这种拓展原给函数定义的方法称为解析延拓。

摘自百度百科

可以说人话了吗。

解析延拓，十分不严谨的说，就是把一个函数的定义域有理由的扩大。

比如说，一个函数$f(x)=x+1, \text{where}\, x\in [1,5].$让你求$f(0)$。

显然，$f(0)$要不是因为定义域的话，$f(0)=1.$但是我们又有什么理由认为它会这样子延伸到这里呢？理论上说做一条与已知线段相切的什么鬼都行。这个理由就是解析，一种十分光滑的光滑。而解析延拓自然也是有它的理由的。

比如说$6!$，它本来意味着阶乘，也就是$6!=1\times2\times3\times4\times5\times6.$但是$(-1)!$看上去就没啥意义对吧。

数学家找到了阶乘的解析延拓，于是新定义的函数就可以带入-1。解析函数只要知道任意一小段，在这里，阶乘便是知道一堆点（带入每一个正整数，输出另一个正整数，以点的形式出现在平面直角坐标系内），于是很显然解析延拓可行了。Γ函数就是阶乘的解析延拓，其定义为

$$ \Gamma(x)=\displaystyle\int^{+\infty}_0 t^{x-1}e^{-t}\,\text{d}t $$

当然，也可以代入复数，此时定义为

$$ \Gamma(z)=\displaystyle\int^{+\infty}_0 t^{z-1}e^{-t}\,\text{d}t $$

于是，你就会得到$\left(\dfrac{1}{2}\right)!=\sqrt{\pi}$，换句话讲，$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$这种疯狂的结果。

先把它放在一边。接下来我们说说黎曼ζ函数。

设一复数s, 其实数部分大于1, 则

$$\zeta(s)=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=1}\dfrac{1}{n^s}$$

注意这个无限大，将我们带回到了这篇文章。

欧拉证明了$\zeta(2)=\dfrac{\pi^2}{6}$，也证明了调和级数，也就是$\zeta(1)$呈对数发散。而既然有了一个点，解析延拓就好办了。它的解析延拓如下。

$$ \zeta(s)=\dfrac{1}{\Gamma(s)}\displaystyle\int^{\infty}_0 \dfrac{x^{s-1}}{e^x-1}\,\text{d}x $$

也就是说，我们又回来了。这个函数和阶乘的解析延拓有了关系。

欧拉做出了一些不严谨的举动，（反正他啥都会算），计算得到了$\zeta(-1)=-\dfrac{1}{12}$，$\zeta(-2)=0$，$\zeta(-3)=\dfrac{1}{120}$，带入原定义，也就是全体自然数的和，平方和，立方和。

但务必注意，解析延拓后，这个函数的意义其实相当于改变了，所以全体自然数的和还是不能简单的说成是负十二分之一。当然，量子物理里面出现了全体自然数的和，把负十二分之一带进去总是没错的，总是符合观测结果。

Lake桑

2018.6.17